Zahlensysteme

Binärsystem

Im Binärsystem oder Dualsystem stellen wir Zahlen mit nur zwei Ziffern dar. Das Binärsystem ist somit ein Binärcode für Zahlen. An stelle der zehn Ziffern ($0$ bis $9$) des Dezimalsystems stehen uns nur zwei Ziffern ($0$ und $1$) zur Verfügung. Wenn wir also im Binärsystem zählen, dann benötigen wir bereits für die Zahl $2$ zwei Stellen:

Binär	Dezimal	Binär	Dezimal
$0_{(2)}$	$0$	$1000_{(2)}$	$8$
$1_{(2)}$	$1$	$1001_{(2)}$	$9$
$10_{(2)}$	$2$	$1010_{(2)}$	$10$
$11_{(2)}$	$3$	$1011_{(2)}$	$11$
$100_{(2)}$	$4$	$1100_{(2)}$	$12$
$101_{(2)}$	$5$	$1101_{(2)}$	$13$
$110_{(2)}$	$6$	$1110_{(2)}$	$14$
$111_{(2)}$	$7$	$1111_{(2)}$	$15$

Bei Binärzahlen hängen wir immer eine kleine, tiefgestellte $_{(2)}$ in Klammern an, um sie von Dezimalzahlen unterscheiden zu können.

Stellenwert

Im Dezimalsystem nimmt der Wert der Stelle von rechts nach links immer um den Faktor $10$ zu. So ist $100$ zehn mal mehr als $10$.

Beispiel: Die Zahl $5478$ besteht aus $5$ Tausendern, $4$ Hunderter, $7$ Zehner und $8$ Einern:

Zehn ist die Basis des Dezimalsystems.

• Der Stellenwert ist die Basis des Systems hoch die Nummer der Stelle beginnend mit Null.
• Der Wert einer Ziffer ist die Ziffer mal den Stellenwert.

Binärzahlen

Im Binärsystem ist dieser Faktor einfach 2. Wir können also die Werte der Stellen als Zweierpotenz schreiben. Für die binäre Zahl $1101_{(2)}$ sieht das also so aus:

$1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0}$

Oder mit ausgerechneten Stellenwerten:

$1\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1$

Zweierpotenzen

Wie gross ist $2^{10}$? Man muss das nicht auswendig können – wir können ja die das nächste Element der Zweierpotenzreihe ganz einfach aufs vorherige zurückführen:

$2^{n} = 2 \cdot 2^{n-1}$

Die Binärdarstellung der Zweierpotenz $2^n$ ist eine Eins gefolgt von $n$ Nullen.

Potenz	Wert	Binärzahl
$2^{0}$	$1$	$1_{(2)}$
$2^{1}$	$2$	$10_{(2)}$
$2^{2}$	$4$	$100_{(2)}$
$2^{3}$	$8$	$1000_{(2)}$
$2^{4}$	$16$	$10000_{(2)}$
$2^{5}$	$32$	$100000_{(2)}$
$2^{6}$	$64$	$1000000_{(2)}$
$2^{7}$	$128$	$10000000_{(2)}$
$2^{8}$	$256$	$100000000_{(2)}$
$2^{9}$	$512$	$1000000000_{(2)}$
$2^{10}$	$1024$	$10000000000_{(2)}$

Umrechnung vom Binär- ins Dezimalsystem

Um eine Binärzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert.

Beispiel:

$1101_{(2)} = 1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$

Endet die Binärzahl mit einer 1, so ist die Dezimalzahl eine ungerade Zahl. Ist die letzte Ziffer der Binärzahl eine 0, so ist die Dezimalzahl gerade.

Beispiel:

$101001_{(2)} = 1\cdot 2^{5} + 0\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 32+8+1 = 41$

$101000_{(2)} = 1\cdot 2^{5} + 0\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 0\cdot 2^{0} = 32+8 = 40$

Dieses Verfahren kann auch in Form einer Tabelle aufgeschrieben werden. Dazu notiert man die einzelnen Ziffern einer Binärzahl in Spalten, die mit dem jeweiligen Stellenwert der Ziffer überschrieben sind.

Binärzahl	32	16	8	4	2	1	Dezimalzahl
$101_{(2)}$				$1$	$0$	$1$	$4 + 1 = 5$
$100011_{(2)}$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$32 + 2 + 1 = 35$
$1010_{(2)}$			$1$	$0$	$1$	$0$	$8 + 2 = 10$

Man addiert nun alle Stellenwerte, die über den Einsen der Binärzahl stehen und erhält die entsprechende grün hinterlegte Dezimalzahl. Um zum Beispiel den Dezimalwert der dritten Binärzahl zu errechnen, werden die Stellenwerte 8 und 2 addiert. Das Ergebnis ist 10.

Umrechnung vom Dezimal- ins Binärsystem (Variante «nach Rezept»)

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, wird die Zahl wiederholt ganzzahlig (d.h. mit Rest) durch Zwei dividiert. Dann betrachtet man insbesondere den Rest des Resultats:

• Bei Rest $1$ schreibt man eine 1 hin.

• Bei Rest $0$ schreibt man eine 0 hin.

  Das Resultat wird nun wieder durch Zwei dividiert. Die nächste 0 oder 1 wird links der bestehenden hingeschrieben.

  Hier wird die Umrechnung am Beispiel 41 gezeigt:

Rechnung	Ergebnis
$41:2= 20\;\text{Rest}\;1$	$1_{(2)}$
$20:2= 10\;\text{Rest}\;0$	$01_{(2)}$
$10:2= 5\;\text{Rest}\;0$	$001_{(2)}$
$5:2= 2\;\text{Rest}\;1$	$1001_{(2)}$
$2:2= 1\;\text{Rest}\;0$	$01001_{(2)}$
$1:2= 0\;\text{Rest}\;1$	$101001_{(2)}$

Die Binärzahl ergibt sich, indem die Reste von unten nach oben aufgeschrieben werden: $101001_{(2)}$.

Umrechnung vom Dezimal- ins Binärsystem (Variante «Subtraktion»)

Für kleinere Zahlen ist diese Variante wohl schneller. Man muss jedoch die Zweierpotenzreihe gut auswendig kennen.

1. Nächst kleinere Zweierpotenz finden.

2. Diese von der Zahl abziehen, eine 1 notieren.

3. Kann nächst kleinere Zweierpotenz abgezogen werden?

   • ja: abziehen und 1 notieren
   • nein: eine 0 notieren

4. Schritt 3 wiederholen bis kleinste Zweierpotenz

Beispiel

Dezimalzahl	Überlegung	Binärzahl
$19$	nächstkleinere Zweierpotenz ist 16	1
$19 - 16 = 3$	8 kommt nicht vor	0
$3$	4 kommt nicht vor	0
$3$	2 kommt vor	1
$3 - 2 = 1$	1 kommt vor	1

⭐️ Binäre rationale Zahlen

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen im Taschenrechner oder Computer gibt es häufig «Rundungsfehler». Wenn man beispielsweise im Computer $0.1 + 0.2$ rechnet, erhält man nicht genau $0.3$:

$0.1 + 0.2 \neq 0.3$

Die Grund dafür ist die binäre Darstellung der rationalen Zahlen.

Dezimalsystem

Wir wissen inzwischen, dass unser Zahlensystem ein Stellenwertsystem ist:

$125 = 1 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10^{1} + 5 \cdot 10^{0}$

Das gilt genau so für rationale Zahlen:

$1.25 = 1 \cdot 10^{0} + 2 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2}$

Binärsystem

Auch im Binärsystem können wir natürliche Zahlen:

$5 = 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 101_{(2)}$

und eben auch rationale Zahlen darstellen:

$1.25 = \frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} = 1 \cdot 2^{0} + 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 1.01_{(2)}$

Darstellung von $0.1$

Nun stellt sich die Frage, wie $0.1$ als binäre Zahl dargestellt werden kann. Das Problem ist, dass das nicht mit endlich vielen Ziffern möglich ist, so wie ein Drittel nicht als dezimale rationale Zahl mit einer endlichen Anzahl Ziffern dargestellt werden kann:

$0.1 = 0.00011001100110011001100110011\ldots_{(2)}$

Da im Computer nur endlich viele Ziffern dargestellt werden können, muss die binäre Darstellung von $0.1$ irgendwo abgeschnitten werden. Wird der abgeschnittene Wert wieder ins Dezimalsystem umgerechnet, erhält man nicht genau $0.1$, sondern z.B.

$0.100000000000000005551115$

Hexadezimalsystem

Das Hexadezimalsystem ist ein weiteres wichtiges Zahlensystem in der Informatik. Seine Basis ist 16. Das bedeutet, dass es im Hexadezimalsystem 16 Ziffern gibt:

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}, \text{E}, \text{F}$

Dabei haben die Ziffern $A$ bis $F$ den dezimalen Wert $10$ bis $15$. Die hexadezimale Zahl $2F_{16}$ wird so in das Dezimalsystem umgerechnet:

$2\text{F}_{(16)} = 2 \cdot 16^{1} + 15 \cdot 16^{0} = 32 + 15 = 47$

Auch hier wird der hexadezimalen Zahl die tiefgestellte Basis $_{(16)}$ angehängt, um sie von einer Dezimalzahl unterscheiden zu können.

Umrechnung zwischen Binär- und Hexadezimalsystem

Besonders einfach ist die Umrechnung zwischen dem Binär- und dem Hexadezimalsystem. Eine Ziffer des Hexadezimalsystems entspricht immer vier Ziffern des Binärsystems. Die folgende Tabelle zeigt die dezimalen und binären Werte der 16 hexadezimalen Ziffern:

Hexadezimal	Dezimal	Binär
$0_{(16)}$	$0$	$0000_{(2)}$
$1_{(16)}$	$1$	$0001_{(2)}$
$2_{(16)}$	$2$	$0010_{(2)}$
$3_{(16)}$	$3$	$0011_{(2)}$
$4_{(16)}$	$4$	$0100_{(2)}$
$5_{(16)}$	$5$	$0101_{(2)}$
$6_{(16)}$	$6$	$0110_{(2)}$
$7_{(16)}$	$7$	$0111_{(2)}$
$8_{(16)}$	$8$	$1000_{(2)}$
$9_{(16)}$	$9$	$1001_{(2)}$
$\text{A}_{(16)}$	$10$	$1010_{(2)}$
$\text{B}_{(16)}$	$11$	$1011_{(2)}$
$\text{C}_{(16)}$	$12$	$1100_{(2)}$
$\text{D}_{(16)}$	$13$	$1101_{(2)}$
$\text{E}_{(16)}$	$14$	$1110_{(2)}$
$\text{F}_{(16)}$	$15$	$1111_{(2)}$

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