6 Mathematik

Mathematik-Umgebungen

Für mathematische Formeln gibt es vier verschiedene Umgebungen. Einerseits kann die Formel innerhalb eines Abschnittes auftreten. Bei abgesetzten Formeln wird unterschieden, ob sie fortlaufend nummeriert werden sollen oder nicht. Zudem gibt es noch die Möglichkeit, eine ganze Liste von Formeln zu definieren.

Es ist wichtig zu wissen, dass Leerraum in Formeln unberücksichtigt bleibt. LaTeX wählt den Abstand zwischen Operatoren, Konstanten und Variablen automatisch. Die Konstanten und Variablen werden gemäss internationalem Standard dargestellt: Konstanten normal, Variablen kursiv.

Sämtliche Operationszeichen (+ - * /), die Relationszeichen (= < >) Klammern (( ) [ ]) sowie die folgenden weiteren Zeichen (: ! ' |) können direkt dargestellt werden. Sollen die geschweiften Klammern gedruckt werden, muss ihnen ein Backslash vorangestellt werden, weil sie als Befehlsklammern verwendet werden.

Inline-Formeln

Wenn eine Formel direkt im laufenden Text erscheinen soll, so verwendet man eine Inline-Formel, welche in $-Zeichen gesetzt wird.

::: example

Die Formel von Pythagoras lautet $c^2 = a^2 + b^2$.

Die Formel von Pythagoras lautet $c^2 = a^2 + b^2$. :::

Die Verwendung der Dollarzeichen ist eine Abkürzung für die math-Umgebung:

Die Formel von Pythagoras lautet
\begin{math}c^2 = a^2 + b^2\end{math}.

Die bekannte Formel von Pythagoras, $c^2 = a^2 + b^2$, bedeutet…

Die Umgebung equation

Die equation-Umgebung unterscheidet sich nur dadurch von der displaymath-Umgebung, dass die abgesetzten Formeln zusätzlich noch nummeriert werden. Die Formelnummer wird stets rechtsbündig angezeigt:

Die Berechnung der Kathete im rechtwinkligen Dreieck zeigt die
Formel~\ref{eq:formel}.

\begin{equation}
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\label{eq:formel}
\end{equation}

Selbstverständlich kann man sich im Text auch auf Formeln beziehen. Dies funktioniert genau wie bei Abbildungs- oder Kapitelverweisen, indem man in der equation-Umgebung ein Label definiert und dieses im Text referenzieren.

Wenn die Nummerierung weggelassen werden soll, wird die *-Variante equation* verwendet.

Die Umgebung align

WARNING

Für die Umgebung align muss das Paket amsmath eingebunden werden.

In der align-Umgebung können mehrere Formeln stehen (getrennt durch \\, die als Formelgruppe aufgeführt werden. Um Formeln beim Gleichheitszeichen auszurichten, fügt man vor und nach dem Gleichheitszeichen das Tabellen-Trennzeichen & ein.

\begin{align}
    c^2 &= a^2 + b^2 \\
    c   &= \sqrt{a^2 + b^2}
\end{align}

Dieser Code erzeugt den folgende Ausgabe:

Verwendet man stattdessen die *-Variante align*, so entfällt die Formelnummerierung.

Formeln

Hoch- und Tiefstellung

In mathematischen Formeln kommen häufig Exponenten und Indizes vor. In LaTeX sind auch mehrfache oder sogar gleichzeitige Hoch- und Tiefstellungen problemlos darstellbar. Die Zeichen ^ resp. _ geben LaTeX an, dass das direkt folgende Zeichen hoch- respektive tiefgestellt werden soll. Um mehrere Zeichen hoch- oder tiefgestellt darzustellen, werden die geschweiften Klammern zur Gruppierung verwendet. Um also die Formel $x_{1,2} = a^2$ zu erzeugen, schreibt man folgenden Code:

$x_{1,2} = a^2$

Es geht aber natürlich auch komplexer, wie das Beispiel $a^{x^2-1}_1$ zeigt:

$a^{x^2-1}_1$

Aufgabe

Bilde den folgenden Ausdruck nach:

$A*{i^{2n}*{n,m}}^{x_1^2+2}$

---

$$ A_{i^{2n}_{n,m}}^{x_1^2+2} $$

Brüche

Für Brücke wird der Befehl \frac{z}{n} verwendet. Dabei ist z der Zähler und n der Nenner.

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$

\begin{equation}
    \frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}
\end{equation}

Im Fliesstext sehen Brüche wie $\frac{a^n}{a^m}$ nicht so toll aus. In dem Fall kann man sie auch mit einem Schrägstrich schreiben: $a^n/a^m$.

Wurzeln

Wurzeln werden mit dem Befehl \sqrt{} eingefügt.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

\begin{equation}
    c = \sqrt{a^2 + b^2}
\end{equation}

Man kann auch n-te Wurzeln darstellen mit dem Befehl \sqrt[n]{}:

$\sqrt[3]{27} = 3$

\begin{equation}
    \sqrt[3]{27} = 3
\end{equation}

Aufgabe

Erzeuge den folgenden Text in deinem Dokument. Das Zeichen $\pm$ wird mit dem Befehl \pm erzeugt.

Die Lösungsformel der quadratischen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ lautet:

$x\_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Klammern

In mathematischen Formeln müssen sich die Klammern der Grösse des eingeschlossenen Terms anpassen. Dazu werden die LaTeX-Befehle \left( und \right) verwendet:

$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

\begin{equation}
    \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n
\end{equation}

Für verschiedene Arten von Klammern können die folgenden Befehle verwendet werden:

Links	Rechts	Beispiel
\left(	\right)	$\left(\frac{a}{b}\right)$
\left[	\right]	$\left[\frac{a}{b}\right]$
\left\{	\right\}	$\left\{\frac{a}{b}\right\}$
\left|	\right|	$\left|\frac{a}{b}\right|$
\langle	\rangle	$\langle\frac{a}{b}\rangle$
\lceil	\rceil	$\lceil\frac{a}{b}\rceil$
\lfloor	\rfloor	$\lfloor\frac{a}{b}\rfloor$

Achtung: Da geschweifte Klammern in LaTeX eine besondere Bedeutung haben, muss ihnen ein Rückstrich vorangestellt werden.

Summen und Integrale

Das Summenzeichen wird durch den Befehl \sum, das Integral durch \int erzeugt. Häufig treten bei Summen oder Integralen obere und untere Grenzen auf, diese werden wie bereits bekannt durch ^ resp. _ direkt hinter dem Summen- oder Integralbefehl erzeugt.

$\sum_{i=1}^n \qquad \int_a^b$

Die Schranken werden bei der Summe im abgesetzten Modus anders dargestellt als beim Integral. Um auch beim Integral die gleiche Darstellung zu erhalten, verwendet man den Befehl \limits.

\sum_{i=1}^n \int\limits_a^b

$\sum_{i=1}^n \qquad \int\limits_a^b$

Aufgabe

Probiere die beiden Befehle (mit oberen und unteren Schranken) innerhalb eines Abschnittes aber auch in einer abgesetzten Umgebung aus. Was stellst du fest?

Aufgabe

Bilde die folgenden Formeln exakt nach:

$\int\frac{\sqrt{(ax+b)^3}}{x}dx = \frac{\sqrt[2]{(ax+b)^3}}{3}+2b\sqrt{ax+b}+b^2$

$\int_{-1}^{8}(dx/\sqrt[3]{x}) = \frac{3}{2}(8^{2/3}+1^{2/3}) = 15/2$

Funktionen

Anders als Variablen schreibt man Funktionsnamen in Formeln nicht kursiv. Deshalb müssen für Funktionsnamen Befehle verwendet werden. Hier ein paar Beispiele:

Funktion	LaTeX	Funktion	LaTeX
$\sin$	\sin	$\exp$	\exp
$\cos$	\cos	$\log$	\log
$\tan$	\tan	$\ln$	\ln
$\arcsin$	\arcsin	$\lim$	\lim
$\arccos$	\arccos	$\max$	\max
$\arctan$	\arctan	$\min$	\min

Symbole

Griechische Buchstaben

Die folgende Tabelle zeigt, wie griechische Buchstaben in LaTeX geschrieben werden. Für das kleine Omikron und einige Grossbuchstaben gibt es kein LaTeX-Befehl, es werden entsprechende lateinische Buchstaben verwendet. Die Kleinbuchstaben Epsilon, Theta, Rho und Phi werden als Variablen speziell dargestellt. Dafür gibt es die speziellen Befehle, welche mit \var beginnen.

Buchstabe	klein	LaTeX	gross	LaTeX
Alpha	$\alpha$	\alpha	$A$	A
Beta	$\beta$	\beta	$B$	B
Gamma	$\gamma$	\gamma	$\Gamma$	\Gamma
Delta	$\delta$	\delta	$\Delta$	\Delta
Epsilon	$\epsilon$ / $\varepsilon$	\epsilon / \varepsilon	$E$	\Epsilon
Zeta	$\zeta$	\zeta	$Z$	Z
Eta	$\eta$	\eta	$H$	H
Theta	$\theta$ / $\vartheta$	\theta / \vartheta	$\Theta$	\Theta
Iota	$\iota$	\iota	$I$	I
Kappa	$\kappa$	\kappa	$K$	K
Lambda	$\lambda$	\lambda	$\Lambda$	\Lambda
Mu	$\mu$	\mu	$M$	M
Nu	$\nu$	\nu	$N$	N
Xi	$\xi$	\xi	$\Xi$	\Xi
Omikron	$o$	o	$O$	O
Pi	$\pi$	\pi	$\Pi$	\Pi
Rho	$\rho$ / $\varrho$	\rho / \varrho	$P$	P
Sigma	$\sigma$	\sigma	$\Sigma$	\Sigma
Tau	$\tau$	\tau	$T$	T
Upsilon	$\upsilon$	\upsilon	$\Upsilon$	\Upsilon
Phi	$\phi$ / $\varphi$	\phi / \varphi	$\Phi$	\Phi
Chi	$\chi$	\chi	$X$	X
Psi	$\psi$	\psi	$\Psi$	\Psi
Omega	$\omega$	\omega	$\Omega$	\Omega

Relationszeichen

In der nachfolgenden Tabelle finden Sie die am häufigsten verwendeten Relationszeichen. Es gibt aber zahlreiche weitere Relationszeichen, die hier der Einfachheit halber weggelassen wurden.

Relation	LaTeX	Relation	LaTeX
$\le$	\leq	$\subset$	\subset
$\ge$	\geq	$\subseteq$	\subseteq
$\ne$	\neq	$\supset$	\supset
$\ll$	\ll	$\supseteq$	\supseteq
$\gg$	\gg	$\in$	\in
$\sim$	\sim	$\exists$	\exists
$\approx$	\approx	$\forall$	\forall

Aufgabe

Stelle den Sinus- und den Kosinussatz korrekt dar.

Matrizen und Klammern

Matrizen können in der Mathematikumgebung mit Hilfe von Tabellen dargestellt werden. Die array-Umgebung verhält sich gleich wie die tabular-Umgebung.

$\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \\ \end{array}$

Diese Darstellung erreicht man mit folgendem Code:

\begin{equation*}
  \begin{array}{cccc}
    x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \\
  \end{array}
\end{equation*}

Die Punkte erzeugt man mit den Befehlen \ldots (low dots), \cdots (center dots), \vdots (vertical dots) und \ddots (diagonal dots). Zudem gibt es den Befehl \dotfill, der eine Spalte mit Punkten auffüllt.